• Thứ Sáu, 01/02/2008 15:16 (GMT+7)

    Giải bài toán Markowitz: Tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khoán bằng VBA for Excel

    Harry Markowitz đã mô hình hóa quá trình lựa chọn danh mục đầu tư (nhờ đó đoạt giải Nobel kinh tế năm 1990) dưới dạng một bài toán quy hoạch phi tuyến (bài toán Markowitz). Mục tiêu của bài toán Markowitz là tìm các tỉ trọng của các chứng khoán trong danh mục đầu tư sao cho giảm tới mức tối thiểu phương sai (rủi ro) của danh mục mà đạt được một mức thu nhập đã định. Giải liên tiếp bài toán với các mức thu nhập mục tiêu người ta xác định được một tập hợp các danh mục đầu tư có hiệu quả. Từ đây nhà đầu tư sẽ lựa chọn một danh mục nằm trong tập hợp này dựa trên quan điểm của mình về việc đánh đổi giữa thu nhập và rủi ro.

    Tìm

    Với hệ ràng buộc

    Trong đó:

     

       

    Phương sai thu nhập của danh mục đầu tư

     
     

    Xi

       

    Tỉ trọng của chứng khoán thứ i trong danh mục đầu tư gồm n chứng khoán; do thị trường chứng khoán nước ta chưa cho phép bán khống.
    (Nếu cho phép bán khống thì bài toán được giải bằng phương pháp Lagrange và rủi ro của danh mục tối ưu còn giảm nhiều hơn, bài toán Markowitz kinh điển không có điều kiện này)

     
     

    ri

       

    Thu nhập kỳ vọng của chứng khoán thứ i

     
     

       

    Thu nhập dự tính của toàn bộ danh mục đầu tư

     

    Tôi đã viết một chương trình nhỏ bằng VBA for Excel để giải bài toán Markowitz. Qua tạp chí TGVT giới thiệu để các bạn cùng xem xét và sửa đổi chương trình hiệu quả hơn.

    THUẬT TOÁN

    Phương pháp giải: Tham khảo phương pháp “Gradien” và “đơn hình” trong giáo trình “Tối ưu hóa” – Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật của PGS.TS Bùi Minh Trí.

    Bước 1 : Tìm phương án đầu tiên xo

    Bước 2 : Tính các đạo hàm riêng của f(x) tại xo

    Bước 3 : Khởi tạo vector ma trận cho bài toán đơn hình

    Bước 4 : Sử dụng thuật toán đơn hình hai pha để giải bài toán đơn hình để tìm hướng di chuyển xk

    Bước 5 : Kiểm tra điều kiện tối ưu của bài toán Markowitz

    Bước 6 : Nếu chưa tìm thấy lời giải, tính nhân tố l, tính xk+1, đặt xo=xk+1 rồi quay trở lại bước 2.

    (dữ liệu trích từ trang web http://www.saga.vn/
    Taichinh/Quihoach/Mohinhhoa_Dubao/5673.saga
    )
    CHƯƠNG TRÌNH

    Chương trình gồm 20 hàm viết bằng VBA for Excel được tóm tắt trong bảng bên dưới. Bạn đọc có thể tải file “Solution for Markowitz.xls” tại website của TGVT để xem chi tiết mã nguồn (mở Tools\Macro\Visual Basic Editor để xem).

    HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG

    Dữ liệu

    Giả sử chúng ta xem xét việc thiết lập danh mục đầu tư từ 5 mã chứng khoán và có bảng dữ liệu về thu nhập từ tháng 12/2004 đến 7/2007 tại sheet Dulieu vùng B2:F33 như sau:

    Để thuận lợi cho việc tính toán ta định nghĩa các vùng dữ liệu bằng chọn Insert\Name\Define như sau:

    AGF=dulieu!$B2$B33; GIL=dulieu!$C2$C33; GMD=dulieu!$D2$D33; NKD=dulieu!$E2$E33; REE =dulieu!$F2$F33

    Thiết lập các tham số

    Tham số được thiết lập tại sheet thamso, như sau:

     

    Hàm/thủ tục

        Chức năng     Tham số  
      1. Function Sol(Var As Range, R As Range, RConst As Double, idx As Integer) As Double      • Hàm lấy dữ liệu, tính phương án khởi tạo, tạo lập vector Gradien của f(xo), gọi hàm “donhinh” để tìm xk; tìm lamda l, tính toán xk+1.
    • Trả về tỷ trọng tối ưu của chứng khoán thứ “idx” trong danh mục
        • “Var” bảng dữ liệu về ma trận phương sai;
    • ”R” bảng dữ liệu về vector thu nhập kỳ vọng của các chứng khoán,
    • “Rconst” thu nhập mục tiêu của danh mục,
    • “idx” số thứ tự của chứng khoán cần tính tỷ trọng
     
      2. Sub FirstSol(R() As Double, X() As Double, RConst As Double)     • Thủ tục lập phương án đầu tiên của bài toán Markowit (phương án này chỉ bao gồm 2 chứng khoán)     • R() vector thu nhập kỳ vọng của các chứng khoán
    • X() vector trả về của phương án
    • Rconst thu nhập mục tiêu của chứng khoán
     
      3. Sub SetGradien(X() As Double, Var() As Double, Gra() As Double)     • Thủ tục tính các đạo hàm riêng của hàm f(x) rồi gán vào mảng Gra()     • X() vector phương án đang xét Xo
    • Var() (mảng 2 chiều) ma trận hiệp phương sai các chứng khoán
    • Gra() vector gradien của hàm f(x)
     
      4. Function Lamda(X() As Double, DX() As Double, Var() As Double) As Double     • Hàm trả về nhân tố lamda l để từ đó chuyển sang một phương án phân bổ chứng khoán mới tốt hơn     • X() vector phương án đang xét Xo
    • DX() là vector hiệu của phương án Xk và Xo
    • Var() ma trận hiệp phương sai các chứng khoán
     
      5. Sub SetXnew(X() As Double, Lamda As Double, DX() As Double, X_new() As Double)     • Thủ tục trả về phương án tốt hơn vào mảng X_new()     • X() vector phương án đang xét Xo
    • Lamda là nhân tố lamda l
    • DX() là vector hiệu của phương án Xk và Xo
    • X_new() phương án tốt hơn trả về
     
      6. Function donhinh(a() As Double, b() As Double, C() As Double, X() As Double) As Boolean     • Hàm giải bài toán quy hoạch tuyến tính theo thuật toán đơn hình 2 pha
    • Trở về True nếu giải được bài toán
    Phương án tối ưu được trả về mảng X()
        • A() mảng hai chiều ứng với ma trận tham số của bài toán đơn hình
    • B() mảng 1 chiều ứng với vector ràng buộc
    • C() mảng 1 chiều ứng với vetor của hàm mục tiêu
     
      7. Sub SetXVector(X() As Double, base() As Integer, simplex() As Double)     • Thủ tục lập phương án cực biên của bài toán quy hoạch tuyến tính rồi gán vào mảng X()     • X() phương án cực biên trả về
    • Base() mảng chỉ tới các cột cơ sở của bảng đơn hình
    • Simplex() mảng 2 chiều ứng bảng đơn hình của bài toán quy hoạch tuyến tính
     
      8. Function TestDelta(Delta() As Double, X() As Double, base() As Integer, C_matrix() As Double, simplex() As Double, nv As Integer) As Integer     • Hàm tính các Delta của bài toán đơn hình rồi gán vào mảng Delta()
    • Kiểm tra điều kiện tối ưu của bài toán đơn hình
    • Kiểm tra sự không giải được của bài toán đơn hình
    • Chỉ ra hướng để chuyển đổi bảng đơn hình tốt hơn bằng cách trả về số thứ tự của Delta lớn nhất( chính là biến cần phải đưa vào cơ sở của bảng đơn hình) và đặt giá trị cho biến nv (giá trị mà Base(nv) chỉ tới là biến phải đưa khỏi cơ sở của bảng đơn hình)
        • Delta() vector các Delta của bảng đơn hình đang xét
    • X() phương án cực biên đang xét
    base() mảng chỉ tới các cột cơ sở của bảng đơn hình
    • C_matrix() vector của hàm mục tiêu của bài toán đơn hình
    • Simplex() là bảng đơn hình
    • nv là giá trị mà Base(nv) chỉ tới chính là biến phải đưa khỏi cơ sở của bảng đơn hình)
     
      9. Sub ChangeSimplex(base() As Integer, simplex() As Double, V_in As Integer, nv As Integer)     • Thủ tục biến đổi bảng đơn hình nhằm tìm ra phương án cực biên tốt hơn     • base() mảng chỉ tới các cột cơ sở của bảng đơn hình
    • Simplex() là bảng đơn hình
    • V_in là biến mới được đưa vào cơ sở
    • Nv là chỉ số mà Base(nv) trỏ tới phải ra khỏi cơ sở
     
      10. Function Min(arr() As Double) As Integer     • Hàm trả về chỉ số của phần tử dương nhỏ nhất trong mảng     • arr() mảng 1 chiều  
      11. Function Max(arr() As Double) As Integer     • Hàm trả về chỉ số của phần tử lớn nhất trong mảng     • arr() mảng 1 chiều  
      12. Function Min2(arr() As Double) As Integer     • Hàm trả về chỉ số của phần tử nhỏ nhất trong mảng     • arr() mảng 1 chiều  
      13. Function SumProduct(X() As Double, Y() As Double) As Double     • Hàm trả về tích vô hướng của 2 vector     • X() mảng 1 chiều
    • Y() mảng 1 chiều
     
      14. Function SumSuper(X() As Double, Y() As Double, m As Integer) As Double     • Hàm trả về tích vô hướng của 1 vector và 1 dòng của 1 ma trận     • X() mảng 1 chiều
    • Y() ma trận
    • M chỉ số dòng của ma trận được nhân
     
      15. Sub SetDX(DX() As Double, X_cu() As Double, X_moi() As Double)     • Thủ tục trả về hiệu của hai vector X_cu() và X_moi() vào vector DX()        
      16. Sub SetEqual(X() As Double, Y() As Double     • Thủ tục đặt vector X() bằng với vector Y()        
      17. Sub SetB(b() As Double, n As Integer, RConst As Double)     • Thủ tục gán giá trị cho vector b() của bài toán đơn hình     • B() vector ràng buộc của bài toán đơn hình
    • N chính bằng số chứng khoán
    • Rconst thu nhập mục tiêu của danh mục chứng khoán
     
      18. Sub SetA(a() As Double, n As Integer, R() As Double     • Thủ tục gán giá trị cho mảng 2 chiều a() của bài toán đơn hình     • A() ma trận tham số của bài toán đơn hình
    • N chính bằng số chứng khoán
    • R() vector thu nhập kỳ vọng của các chứng khoán
     
      19. Function SetC(C() As Double, n As Integer, G() As Double)     • Thủ tục gán giá trị cho vector c() của bài toán đơn hình     • C() vector mục tiêu của bài toán đơn hình
    • N chính bằng số chứng khoán
    • G() vector gradien của hàm f(x)
     
      20. Public Function Varience(Var_matrix As Range, W_matrix As Range) As Double     • Hàm trả về phương sai của danh mục đầu tư     • Var_matrix là bảng ma trận phương sai/hiệp phương sai
    • W_matrix phương án phân bổ các chứng khoán
     

    • Vùng từ B3:F3 là các tham số về thu nhập kỳ vọng (trung bình) chứng khoán

    ­ Tại ô B3 công thức =AVERAGE(AGF)

    ­ Tại ô C3 công thức =AVERAGE(GIL)

    ­ Tại ô D3 công thức =AVERAGE(GMD)

    ­ Tại ô E3 công thức =AVERAGE(NKD)

    ­ Tại ô F3 công thức=AVERAGE(REE)


    • Vùng từ B4:F4 là các tham số về độ lệch chuẩn về thu nhập của chứng khoán

    ­ Tại ô B4 công thức =SQRT(VAR(AGF))

    ­ Tại ô C4 công thức = SQRT(VAR(GIL))

    ­ Tại ô D4 công thức = SQRT(VAR(GMD))

    ­ Tại ô E4 công thức = SQRT(VAR(NKD))

    ­ Tại ô F4 công thức= SQRT(VAR(REE))

    • Vùng từ B9:F13 là ma trận phương sai/hiệp phương sai của thu nhập của các chứng khoán

    Tại ô B9 là phương sai của chứng khoán AGF; công thức =VAR(AGF)

    Tại ô C10 phương sai của chứng khoán GIL; công thức =VAR(GIL)

    Tại ô D11 phương sai của chứng khoán GMD; công thức =VAR(GMD)

    Tại ô E12 phương sai của chứng khoán NKD; công thức =VAR(NKD)

    Tại ô F13 phương sai của chứng khoán REE; công thức =VAR(REE)

    Tại ô B10 là hiệp phương sai của chứng khoán AGF và GIL; công thức =COVAR(AGF;GIL)

    Tại ô C9 là hiệp phương sai của chứng khoán GIL và AGF; công thức =COVAR(AGF;GIL)

    Tại ô B11 là hiệp phương sai của chứng khoán AGF và GMD; công thức =COVAR(AGF;GMD)

    Tương tự như vậy ta điền hết công thức vào các ô còn trống

    • Ta tiếp tục định nghĩa các vùng dữ liệu sau cho tiện việc tính toán (bằng Insert\Name\Define)

    ­Thunhap=thamso!$B$3:$F$3;phuongsai= thamso!$B$9:$F$13

    Xử lý bài toán

    • Vùng từ D3:H23 là các tính toán xử lý của chúng ta về tỷ trọng phân bổ chứng khoán, ví dụ:

    ­ Tại ô D4 công thức =sol(phuongsai;thunhap;A4;1)

    ­ Tại ô E4 công thức =sol(phuongsai;thunhap;A4;2)

    ­ Tại ô F4 công thức =sol(phuongsai;thunhap;A4;3)

    ­ Tại ô G4 công thức =sol(phuongsai;thunhap;A4;4)

    ­ Tại ô F4 công thức =sol(phuongsai;thunhap;A4;5)

    ­ Tương tự ô G22 công thức =sol(phuongsai;thunhap;A22;4)

    • Vùng B3:B23 là tính toán về phương sai của danh mục, ví dụ:

    ­ tại ô B2 có công thức =varience(phuongsai;D2:F2)

    ­ tại ô B22 có công thức =varience(phuongsai;D22:F22)

    • Vùng C3:C23 là tính toán về độ lệch chuẩn của danh mục:

    ­ tại ô C2 công thức=SQRT(B2)

    ­ tại ô C22 công thức=SQRT(B22)

    Thông qua kết quả tính toán ta thấy ngay được hiệu của việc đa dạng hóa danh mục đầu tư, ví dụ danh mục đầu tư Y ở vùng D13:F13 (AGF=26,7%;GIL=17,4%;GMD=21,2%;NKD=11,4%;REE=23,3%) có thu nhập là 7% và độ lệch chuẩn là 15,04%; danh mục này hiệu quả hơn danh mục Z gồm 100% chứng khoán GMD có thu nhập 7% và độ lệch chuẩn 24,2%. Có thể nói danh mục Y chi phối danh mục Z. Các danh mục đầu tư bị chi phối bởi các danh mục đầu tư khác gọi là “các danh mục đầu tư kém hiệu quả”. Tập hợp hiệu quả là một phần của danh mục đầu tư khả dĩ có độ lệch chuẩn tối thiểu sau khi cắt bỏ các danh mục đầu tư kém hiệu quả. Để làm rõ hơn điều này ta chọn vùng A3:C23 để vẽ biểu đồ có dạng, như sau:


    Ta thấy ngay danh mục đầu tư nằm trên đoạn BC chính là đường danh mục đầu tư hiệu quả. Đây là các danh mục tốt nhất bởi vì không thể tìm được một danh mục nào khác tốt hơn về thu nhập mà lại không phải hy sinh về rủi ro (độ lệch) và ngược lại không thể tìm một danh mục nào khác có rủi ro ít hơn mà không phải hy sinh về thu nhập. Các danh mục đầu tư nằm phía dưới đoạn BC là không hiệu quả vì cùng một mức rủi ro nhưng lại có thu nhập thấp hơn. Nhà đầu tư thông minh sẽ lựa chọn một danh mục nào đó nằm trên đường BC dựa trên quan điểm của anh ta về việc đánh đổi giữa thu nhập và rủi ro.

    Nguyễn Văn Thắng
    Công ty hợp danh Kiểm toán Hà Nội
    Thang_via@yahoo.com

    ID: A0801_111
    File đính kèm